با توجه به قضیهٔ فیثاغورس اگر زاویهٔ $A$ از مثلثی مانند $ABC$، قائمه باشد، آنگاه $a^2 = b^2 + c^2$.
الف) عکس این قضیه را بنویسید.
ب) با انجام مراحل زیر نتیجه بگیرید که عکس قضیهٔ فیثاغورس نیز درست است.
## الف) عکس قضیهٔ فیثاغورس
قضیهٔ فیثاغورس: اگر در مثلث $ABC$، زاویهٔ $A$ قائمه باشد، آنگاه $a^2 = b^2 + c^2$.
**عکس قضیه**: اگر در مثلث $ABC$، مربع طول یک ضلع (مثلاً $a$) برابر با مجموع مربعهای طول دو ضلع دیگر ($b$ و $c$) باشد، آنگاه زاویهٔ روبروی آن ضلع (زاویهٔ $A$) قائمه است.
$$\text{عکس قضیه}: \text{اگر در مثلث } ABC \text{ داشته باشیم } a^2 = b^2 + c^2 \text{، آنگاه زاویهٔ } A \text{ قائمه است } (\hat{A} = 90^{\circ})$$
---
## ب) اثبات عکس قضیهٔ فیثاغورس
برای اثبات عکس قضیه، فرض میکنیم در مثلث $\triangle ABC$ رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ برقرار است.
**۱. رسم مثلث کمکی**:
یک مثلث قائمالزاویهٔ کمکی $\triangle A'B'C'$ رسم میکنیم که در $A'$ قائمالزاویه باشد و طول اضلاع آن طوری باشد که $A'C' = b$ و $A'B' = c$ باشد.
$$\triangle A'B'C' \text{ با } \hat{A}' = 90^{\circ}, b' = A'C' = b, c' = A'B' = c$$
**۲. استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث کمکی**:
طبق قضیهٔ فیثاغورس، مربع وتر $a'$ در $\triangle A'B'C'$ برابر است با:
$$a'^2 = b'^2 + c'^2$$
با جایگزینی $b' = b$ و $c' = c$:
$$(I) \quad a'^2 = b^2 + c^2$$
**۳. مقایسه و نتیجهگیری**:
از فرض مسئله در مثلث $\triangle ABC$ میدانیم:
$$(II) \quad a^2 = b^2 + c^2$$
از مقایسهٔ $(I)$ و $(II)$ نتیجه میگیریم:
$$a'^2 = a^2 \Rightarrow a' = a$$
**۴. همنهشتی مثلثها**:
* $\triangle ABC$: اضلاع با طولهای $a, b, c$.
* $\triangle A'B'C'$: اضلاع با طولهای $a, b, c$. (زیرا $a'=a, b'=b, c'=c$)
چون سه ضلع مثلث $\triangle ABC$ با سه ضلع مثلث $\triangle A'B'C'$ برابرند، دو مثلث **به حالت سه ضلع ($ض ض ض$) همنهشت هستند**:
$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$
**۵. نتیجه نهایی**:
از همنهشتی، اجزای متناظر برابرند. پس زاویهٔ $A$ در $\triangle ABC$ با زاویهٔ $A'$ در $\triangle A'B'C'$ برابر است.
$$\hat{A} = \hat{A}'$$
چون $\hat{A}' = 90^{\circ}$ بود، پس $\hat{A} = 90^{\circ}$.
**نتیجه**: عکس قضیهٔ فیثاغورس **درست** است.
